前々回のテーマ「
約数」の最後の課題では，合成数を素数の積で表しました。素因数分解とは，この課題のことです。つまり，特定の自然数を，素数の積の形で表すことです。以下に例を示しますので，確認してください。
\(
7 = 7（素数はそのまま） \\
126 = 2 × 3^2 × 7
\)
素因数分解を利用すると，約数の数を求めたり，すべての約数を求めたりするときに，とても役立ちます。
以下の課題は，
素因数分解の筆算のやり方を会長，または，おちょんさんから聞いて
から取り組むこと。（おちょんさんは，誰か知ってますか？）
- ５０４を素因数分解しなさい。
- １９２５を素因数分解しなさい。
- １６９００を素因数分解しなさい。
※必要なら，素数シートを使ってもかまいません。
素因数分解を利用すると，とても簡単に，最大公約数と最小公倍数を求めることができます。例として，１２６と１８０の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。まず，それぞれを素因数分解します。
\(
126 = 2 × 3^2 × 7 \\
180 = 2^2 × 3^2 × 5
\)
同じ
因数
（素因数分解して積の形になったそれぞれの数のこと）がわかりやすくなるように，次のような累乗の形で表すことにします。
\(
126 = 2^1 × 3^2 × 5^0 × 7^1 \\
180 = 2^2 × 3^2 × 5^1 × 7^0
\)
最大公約数を求めたい場合は，１２６と１８０の共通の因数それぞれにおいて，指数が
小さい
ほうを選びます。以下の例の赤い部分です。３の指数は，どちらも２なので，どちらを選んでもよいことになります。
\(
126 = 2^{\color{red}1} × 3^{\color{red}2} × 5^{\color{red}0} × 7^1 \\
180 = 2^2 × 3^2 × 5^1 × 7^{\color{red}0}
\)
選んだ指数を使って，それぞれの因数をかけていきます。計算結果である１８が，１２６と１８０の最大公約数です。
\(
\begin{align*}
2^{\color{red}1} × 3^{\color{red}2} × 5^{\color{red}0} × 7^{\color{red}0} & = 2 × 3^2 \\
& = 18
\end{align*}
\)
最小公倍数を求めたい場合は，最大公約数の場合とは逆に，１２６と１８０の共通の因数それぞれにおいて，指数が
大きい
ほうを選びます。以下の例の赤い部分です。３の指数は，どちらも２なので，どちらを選んでもよいことになります。
\(
126 = 2^1 × 3^{\color{red}2} × 5^0 × 7^{\color{red}1} \\
180 = 2^{\color{red}2} × 3^2 × 5^{\color{red}1} × 7^0
\)
選んだ指数を使って，それぞれの因数をかけていきます。計算結果である１２６０が，１２６と１８０の最小公倍数です。
\(
\begin{align*}
2^{\color{red}2} × 3^{\color{red}2} × 5^{\color{red}1} × 7^{\color{red}1} & = 2^2 × 3^2 × 5 × 7\\
& = 1260
\end{align*}
\)
手順を理解できましたか？ これまでは，感覚的に公約数を見つけていたかもしれませんが，今後は比較的大きな数の最大公約数や約数，最小公倍数なども簡単に求めることができますね。
最大公約数や最小公倍数を求めるための筆算もありますので，会長かおちょんさんに聞いてみよう。